ご回答有り難うございます。途中経過をお伝えします。
アドバイスに従い次の順番でトライしてみました。
●別のＡＰ(知人のSo-net)から接続してみました
●漢字変換ソフトをＡＴＯＫ１１に変更して、常駐を解除してからアンインストール、インストールを行いました
●ウィルスバスターでウィルスに感染していないか、全てのファイルを調べましたが、感染はありませんでした。
●アンインストール時には、C:\Program Files\ICQのフォルダも削除してアンインストール、インストールを行いました
●HKEY_CURRENT_USER\Software\Mirabilisにあるキーをレジストリエディタを使って削除してからアンインストール、インストールを行いました

以上、どれをやっても状況(ＩＣＱが４回クリックしてないと立ち上がらない、ＩＣＱ　ＮｅｔＤｅｔｅｃｔＡｇｅｎｔからＩＣＱを開くと常駐が解除される。ブラウザーを開くと同じく常駐が解除される)は変わりませんでした。


あまり関係ないかもしれませんが…
レジストリを弄ったせいか、コピーしてあったもので復帰しても、インストール時に

Your database needs to be compatible with
ICQ99a in order for the program to work.An
incompatible database is one that was used with
previous of ICQ will detect an
incompatible database and prompt you to fix it
accordingly.
Note:The DBConverter can be run anytime from
the Start menu to fix any database problems.

というメッセージが出るようになりました。
しかし、ICQDBConvertを実行してＮＥＸＴを押しても

There are no ownes registered on this computer.Therefore,there is no databases to
convert.

というメッセージが出ます。
まだ、Ｗｉｎ９５のアップデートモジュールをインストールしていないので、原因はそこにあるのかもしれません。

〔ツリー構成〕

┣【1240】 どうしても起動しません 1999/8/7(土)18:53 ふぃるでん (1428)

┣【1241】 削除

┣【1242】 re(1):どうしても起動しません 1999/8/7(土)21:39 まゆう (546)

┣【1246】 re(2):どうしても起動しません 1999/8/8(日)01:02 ふぃるでん (617)

┣【1259】 re(3):どうしても起動しません 1999/8/8(日)23:05 まゆう (1242)

┣【1279】 re(4):どうしても起動しません 1999/8/9(月)13:21 ふぃるでん (1540)

┣【1282】 re(5):どうしても起動しません 1999/8/9(月)17:07 まゆう (125)

┣【1292】 re(6):どうしても起動しません 1999/8/9(月)22:50 ふぃるでん (471)

┣【1293】 re(7):どうしても起動しません 1999/8/9(月)23:02 ZENON (823)

┣【1294】 指摘してくれたとおりです。 1999/8/9(月)23:13 まゆう (292)